基于Matlab如何制作一个数独求解器

这篇“基于Matlab如何制作一个数独求解器”文章的知识点大部分人都不太理解，所以小编给大家总结了以下内容，内容详细，步骤清晰，具有一定的借鉴价值，希望大家阅读完这篇文章能有所收获，下面我们一起来看看这篇“基于Matlab如何制作一个数独求解器”文章吧。

1.完整效果

2.数独求解(错误示范)

首先我们先尝试如果只满足行、列、3x3块加和均为45的等式约束是否有效。即约束为：

每行和为45:

每列和为45:

每个3x3块和为45:

其中对此编写如下代码：

sudokuMat=[1 0 5 0 2 0 0 0 0     0 0 0 7 4 3 0 0 5     3 0 7 0 0 0 0 0 9     0 2 0 0 0 0 4 5 0     0 6 0 4 0 1 0 8 0     0 7 4 0 0 0 0 6 0     2 0 0 0 0 0 3 0 8     4 0 0 8 5 6 0 0 0     0 0 0 0 3 0 5 0 6];% 记录原本各个数字所在位置，构造等式约束n0Ind=find(sudokuMat~=0); Aeq1=zeros(length(n0Ind),81);for i=1:length(n0Ind)    Aeq1(i,n0Ind(i))=1;endbeq1=sudokuMat(sudokuMat~=0);% 行等式约束和列等式约束Aeq2=zeros(9,81);Aeq3=zeros(9,81);for i=1:9    Aeq2(i,(i-1)*9+1:i*9)=1;    Aeq3(i,i:9:81)=1;endbeq2=ones(9,1).*45;beq3=ones(9,1).*45;% 3x3块等式约束Aeq4=zeros(9,81);for i=1:3    for j=1:3        tmat=zeros(9,9);        tmat((i-1)*3+1:i*3,(j-1)*3+1:j*3)=1;        Aeq4((i-1)*3+j,:)=tmat(:)';    endendbeq4=ones(9,1).*45;f=ones(1,81);    % 不重要，随便设置intcon=1:81;     % 所有元素都要求为整数lb=ones(81,1);   % 下限为1ub=ones(81,1).*9;% 上限为1Aeq=[Aeq1;Aeq2;Aeq3;Aeq4];beq=[beq1;beq2;beq3;beq4];% 求解整数规划X=intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub);% 重新 构造数独矩阵X=reshape(X,[9,9])

那么，这么简单就能够解决数独了嘛？？？

当然不行。。。。

上述程序运行结果为：

1 8 5 6 2 9 9 1 4
2 9 9 7 4 3 5 1 5
3 1 7 1 4 9 8 3 9
7 2 1 8 9 4 4 5 5
9 6 1 4 1 1 9 8 6
8 7 4 1 8 9 1 6 1
2 1 9 1 9 3 3 9 8
4 9 8 8 5 6 1 3 1
9 2 1 9 3 1 5 9 6

可以发现我们的约束确实保证了三种加和都是45，但是不能保证同行、同列、同3x3块内不出现同样的数字，那咋办，总不能一个元素一个元素添加不相等信息吧、我们怎样能让矩阵包含更多的信息，更方便的阐述各个元素之间的联系呢？

3.数独求解(升维)

欸，我们原本是9x9大小的矩阵，要描述每个元素和同一行各个元素、和同一列各个元素之间的联系，一个很自然的想法就是升维！

将9×9的数独矩阵转化为9×9×9的三维矩阵(张量),此时X(i,j,k)=1意味原矩阵第i行，第j列的元素为k，整个整数规划从现在开始变成了0-1规划，要想同一行的数值都不一样，只需要所有的行纤维的和都是1，想要同一列的数值都不一样，只需要所有列纤维的和都是1，非常奇妙的，我们又把问题转换为了一个线性求和的问题，very amazing啊！

此时约束条件变为：

原矩阵每个小格子只能有一个数值：

原矩阵每一行的各个数字均不同：

原矩阵每一列的各个数字均不同：

原矩阵每一个3x3块各个数字均不同：

其中因此编写如下代码

sudokuMat=[1 0 5 0 2 0 0 0 0     0 0 0 7 4 3 0 0 5     3 0 7 0 0 0 0 0 9     0 2 0 0 0 0 4 5 0     0 6 0 4 0 1 0 8 0     0 7 4 0 0 0 0 6 0     2 0 0 0 0 0 3 0 8     4 0 0 8 5 6 0 0 0     0 0 0 0 3 0 5 0 6];% 记录原本1所在位置，构造等式约束n0Ind=find(sudokuMat~=0); Aeq0=zeros(length(n0Ind),9^3);for i=1:length(n0Ind)    Aeq0(i,n0Ind(i)+(sudokuMat(n0Ind(i))-1)*81)=1;end% 每一行、列、管都只能有一个1Aeq1=zeros(81,9^3);Aeq2=zeros(81,9^3);Aeq3=zeros(81,9^3);for i=1:9    for j=1:9        A1=zeros(9,9,9);        A2=zeros(9,9,9);        A3=zeros(9,9,9);        A1(:,i,j)=1;Aeq1((i-1)*9+j,:)=A1(:)';        A2(i,:,j)=1;Aeq2((i-1)*9+j,:)=A2(:)';        A3(i,j,:)=1;Aeq3((i-1)*9+j,:)=A3(:)';    endend% 每个3x3的小矩阵都只能有一个1Aeq4=zeros(81,9^3);for k=1:9    for i=1:3        for j=1:3            A4=zeros(9,9,9);            A4((i-1)*3+1:i*3,(j-1)*3+1:j*3,k)=1;            Aeq4((k-1)*9+(i-1)*3+j,:)=A4(:)';        end    endendf=ones(1,9^3);  % 不重要，随便设置intcon=1:9^3;   % 所有元素都要求为整数lb=zeros(9^3,1);% 下限为0ub=ones(9^3,1); % 上限为1Aeq=[Aeq0;Aeq1;Aeq2;Aeq3;Aeq4];beq=ones(size(Aeq,1),1);% 求解整数规划X=intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub);% 重新 构造数独矩阵X=reshape(X,[9,9,9]);resultMat=zeros(9,9);for i=1:9    resultMat=resultMat+X(:,:,i).*i;endresultMat

求解结果为：

LP:Optimal objective value is 81.000000.

Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 

The intcon variables are integer within tolerance, options.IntegerTolerance = 1e-05

resultMat 

1 8 5 6 2 9 7 3 4
6 9 2 7 4 3 8 1 5
3 4 7 1 8 5 6 2 9
9 2 1 3 6 8 4 5 7
5 6 3 4 7 1 9 8 2
8 7 4 5 9 2 1 6 3
2 5 6 9 1 7 3 4 8
4 3 9 8 5 6 2 7 1
7 1 8 2 3 4 5 9 6

历时 0.017170 秒，快到离谱。不得不说MATLAB规划算法还是niubility！

4.数字识别

想要做读取图片后识别数独矩阵的功能，但是本文做的只是一个基础款，没打算搞歪歪斜斜的数独题目图像，也没打算识别那些手写字体，于是既没有做角度矫正，也没搞CNN数字识别，大家学会基础款后可以自行添加相关功能，本文中的数字识别只是将图像切割后和数字库里几个图像进行对比：

只是做了简单的最小二乘法，求差值平方和，找到差异最小的图片，非常的简单，因此只能应对一些横平竖直的数独题目。

5.GUI / APP

反正都很简单，我就GUI版本和App designer版本都做了，以下仅展示 GUI 版本代码

function sudokuGui% @author:slandarer% GUI图窗创建SDKFig=uifigure('units','pixels',...    'position',[300 100 450 500],...    'Numbertitle','off',...    'menubar','none',...    'resize','off',...    'name','数独求解器 1.0',...    'color',[1,1,1].*0.97);SDKFig.AutoResizeChildren='off';SDKAxes=uiaxes('Units','pixels',...      'parent',SDKFig,...      'PlotBoxAspectRatio',[1 1 1],...      'Position',[15 15 420 420],...      'Color',[0.99 0.99 0.99],...       'Box','on', ...      'XLim',[0 1],'YLim',[0 1],...      'XTick',[],'YTick',[]);hold(SDKAxes,'on');% SDKAxes.Toolbar.Visible='off';% 按钮创建uibutton(SDKFig,'Text','导  入  图  片','BackgroundColor',[0.31 0.58 0.80],'FontColor',[1 1 1],...    'FontWeight','bold','Position',[25,450,150,35],'FontSize',13,'ButtonPushedFcn',@loadPic);  uibutton(SDKFig,'Text','开  始  计  算','BackgroundColor',[0.31 0.58 0.80],'FontColor',[1 1 1],...    'FontWeight','bold','Position',[200,450,150,35],'FontSize',13,'ButtonPushedFcn',@solveSDK); % =========================================================================% 读取图像库内图像path='数字图像库';picInfor=dir(fullfile(path,'*.jpg'));SDKPicSet{size(picInfor,1)}=[];for n=1:size(picInfor,1)    tempPic=imread([path,'\',picInfor(n).name]);    SDKPicSet(n)={tempPic};endoriPic=[];    % 图像读取函数    function loadPic(~,~)        try            [filename, pathname] = uigetfile({'*.jpg;*.tif;*.png;*.gif','All Image Files';...                '*.*','All Files' });            oriPic=imread([pathname,filename]);            Lim=max(size(oriPic));            SDKAxes.XLim=[0 Lim];            SDKAxes.YLim=[0 Lim];            imshow(oriPic,'parent',SDKAxes)        catch        end    end    % 数独求解函数    function solveSDK(~,~)        % 提取数独矩阵及数独矩阵在图片中位置        [XLim,YLim,sudokuMat]=getMat(oriPic);                % 整数规划求解数独        resultMat=sudoku(sudokuMat);disp(resultMat)        % 补全数独图像        fillSDK(XLim,YLim,resultMat,sudokuMat)    end% =========================================================================    % 提取数独矩阵    function [XLim,YLim,sudokuMat]=getMat(oriPic)        bw=~im2bw(oriPic);        deletedRange=round(((size(bw,1)+size(bw,2))/2)^2*0.00005);        bw=bwareaopen(bw,deletedRange);        % 定位数独表格        xDistrib=find(sum(bw,2)~=0);        yDistrib=find(sum(bw,1)~=0);        XLim=[xDistrib(1),xDistrib(end)];        YLim=[yDistrib(1),yDistrib(end)];        % 将图像进行切割并将数字填入矩阵        numPicSize=[round((XLim(2)-XLim(1)+1)/9),round((YLim(2)-YLim(1)+1)/9)];        selectedPic=imresize(bw(XLim(1):XLim(2),YLim(1):YLim(2)),9.*numPicSize);        sudokuMat=zeros(9,9);        for i=1:9            for j=1:9                % 切割出每个数字                numPic=selectedPic((i-1)*numPicSize(1)+1:i*numPicSize(1),(j-1)*numPicSize(2)+1:j*numPicSize(2));                numPic=imclearborder(numPic);                xDistrib=find(sum(numPic,2)~=0);                yDistrib=find(sum(numPic,1)~=0);                if ~any(xDistrib)||~any(yDistrib)% 若是方框是空的设置矩阵数值为0                    sudokuMat(i,j)=0;                else                    xLim=[xDistrib(1),xDistrib(end)];                    yLim=[yDistrib(1),yDistrib(end)];                    % 为了区分1和7,这里多删去一块                    numPic=numPic(xLim(1):xLim(2)-round(0.1*(xLim(2)-xLim(1))),yLim(1):yLim(2));                    xDistrib=find(sum(numPic,2)~=0);                    yDistrib=find(sum(numPic,1)~=0);                    xLim=[xDistrib(1),xDistrib(end)];                    yLim=[yDistrib(1),yDistrib(end)];                    numPic=numPic(xLim(1):xLim(2),yLim(1):yLim(2));                    numPic=imresize(numPic,[70 40]);                    % 最小二乘法选出最可能的数值                    tempVarin=inf.*ones(1,size(picInfor,1));                    % 循环和图像库中图像做差值并求平方和                    for k=1:size(picInfor,1)                        tempVarin(k)=sum((double(SDKPicSet{k})-numPic.*255).^2,[1,2]);                    end                    tempStr=picInfor(tempVarin==min(tempVarin)).name;                    sudokuMat(i,j)=str2double(tempStr(1));                end            end        end    end% -------------------------------------------------------------------------    % 整数规划求解数独    function resultMat=sudoku(sudokuMat)        % 记录原本1所在位置，构造等式约束        n0Ind=find(sudokuMat~=0);        Aeq0=zeros(length(n0Ind),9^3);        for i=1:length(n0Ind)            Aeq0(i,n0Ind(i)+(sudokuMat(n0Ind(i))-1)*81)=1;        end        % 每一行、列、管都只能有一个1        Aeq1=zeros(81,9^3);        Aeq2=zeros(81,9^3);        Aeq3=zeros(81,9^3);        for i=1:9            for j=1:9                A1=zeros(9,9,9);                A2=zeros(9,9,9);                A3=zeros(9,9,9);                A1(:,i,j)=1;Aeq1((i-1)*9+j,:)=A1(:)';                A2(i,:,j)=1;Aeq2((i-1)*9+j,:)=A2(:)';                A3(i,j,:)=1;Aeq3((i-1)*9+j,:)=A3(:)';            end        end        % 每个3x3的小矩阵都只能有一个1        Aeq4=zeros(81,9^3);        for k=1:9            for i=1:3                for j=1:3                    A4=zeros(9,9,9);                    A4((i-1)*3+1:i*3,(j-1)*3+1:j*3,k)=1;                    Aeq4((k-1)*9+(i-1)*3+j,:)=A4(:)';                end            end        end        f=ones(1,9^3);  % 不重要，随便设置        intcon=1:9^3;   % 所有元素都要求为整数        lb=zeros(9^3,1);% 下限为0        ub=ones(9^3,1); % 上限为1        Aeq=[Aeq0;Aeq1;Aeq2;Aeq3;Aeq4];        beq=ones(size(Aeq,1),1);        % 求解整数规划        X=intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub);        % 重新 构造数独矩阵        X=reshape(X,[9,9,9]);        resultMat=zeros(9,9);        for i=1:9            resultMat=resultMat+X(:,:,i).*i;        end    end% -------------------------------------------------------------------------    % 补全数独    function fillSDK(xLim,yLim,resultMat,sudokuMat)        for i=0:9            plot(SDKAxes,[yLim(1),yLim(1)]+i*(yLim(2)-yLim(1))/9,[xLim(1),xLim(2)],'Color',[0.29 0.65 0.85],'lineWidth',2)            plot(SDKAxes,[yLim(1),yLim(2)],[xLim(1),xLim(1)]+i*(xLim(2)-xLim(1))/9,'Color',[0.29 0.65 0.85],'lineWidth',2)        end        fontSize=18;        if (xLim(2)-xLim(1))>0.8*size(oriPic,1)            fontSize=36;        end        for i=1:9            for j=1:9                if (resultMat(j,i)~=0)&&(sudokuMat(j,i)==0)                text(SDKAxes,yLim(1)+(i-1)*(yLim(2)-yLim(1))/9+(yLim(2)-yLim(1))/9/2,...                             xLim(1)+(j-1)*(xLim(2)-xLim(1))/9+(xLim(2)-xLim(1))/9/2,...                             num2str(resultMat(j,i)),'HorizontalAlignment','center',...                             'Color',[0.29 0.65 0.85],'fontWeight','bold','fontSize',fontSize)                end            end        end    endend

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