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Java数据结构之平衡二叉树的原理与实现

2024-04-02 19:04:59 284人浏览薄情痞子

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摘要

目录1 平衡二叉树的概述2 平衡二叉树的实现原理2.1 单旋转2.2 双旋转2.3 总结3 平衡二叉树的构建3.1 类架构3.2 查找的方法3.3 检查是否平衡的方法3.4 插入的方

平衡二叉树(AVL树)，顾名思义，是一颗很“平衡”的树，它的平衡是相对于排序二叉树来说的。为了避免极端情况下二叉搜索树节点分布不均匀，甚至退化为链表，影响查找效率，我们引入了平衡二叉树，即让树的结构看起来尽量“均匀”，左右子树的节点数和层级尽量一样多。

本文详细介绍了平衡二叉树的概念和实现原理，并且提供了Java代码的完全实现。

1 平衡二叉树的概述

为了避免极端情况下二叉搜索树退化为链表，影响查找效率，我们引入了平衡二叉树，即让树的结构看起来尽量“均匀”，左右子树的节点数和层级尽量一样多。要想学习平衡二叉树并且掌握它，必须要先掌握二叉排序树，如果对二叉搜索树还不太明白的，包括为什么二叉排序树可能退化为链表，可以看看这篇文章：数据结构—二叉排序树的原理以及Java代码的完全实现。

平衡二叉树，又称AVL树，指的是左子树上的所有节点的值都比根节点的值小，而右子树上的所有节点的值都比根节点的值大，且左子树与右子树的高度差最大为1。因此，平衡二叉树满足所有二叉排序（搜索）树的性质，是在二叉排序树的基础上发展而来的。至于AVL，则是取自两个发明平衡二叉树的俄罗斯科学家的名字：G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis。

总的来说平衡二叉树具有如下性质：

它一定是一棵二叉排序树；
它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树，递归定义。

平衡因子BF（Balance Factor）：我们将二叉树上节点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子，那么平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能是-1、0和1。只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。

上图中，图一是平衡二叉树，图二的59比58大，却是58的左子树，这是不符合二叉排序树的定义的，图二不是平衡二叉树。图3不是平衡二叉树的原因就在于，节点58的左子树高度为3，而右子树为空，二者差大于了绝对值1，因此它也不是平衡的。而经过适当的调整后的图4，它就符合了定义，因此它是平衡二叉树。

最小不平衡子树：距离插入、删除节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。下图中当新插入节点37时，距离它最近的平衡因子绝对值超过1的节点是58（即它的左子树高度3减去右子树高度1），所以从58开始以下的子树为最小不平衡子树。

2 平衡二叉树的实现原理

平衡二叉树实现原理的核心就是：由于在插入、删除节点以后，只有那些从插入点到根节点的路径上的节点的平衡可能被改变，因为只有这些节点的子树可能发生变化。因此，我们需要沿着这条路径上行到根并更新平衡信息，尝试找出最小不平衡树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中根节点和子结点之间的关系，进行相应的旋转（rotation），使之成为新的平衡子树。

先来看看插入的重平衡，因为到后面我们会发现插入和删除进行的重平衡操作基本是一致的。

我们把需要进行平衡（平衡因子绝对值大于1）的节点称为x，由于任意节点最多有两个儿子，因此出现高度不平衡就需要x点的两棵子树的高度差2，而这种不平衡只可能出现在下面四种情况中：

在节点X的左孩子节点的左子树中插入元素，简称LL
在节点X的左孩子节点的右子树中插入元素，简称LR
在节点X的右孩子节点的左子树中插入元素，简称RL
在节点X的右孩子节点的右子树中插入元素，简称RR

其中第1种情况和第4种情况是对称的，被称为发生“外边”的情况，可以通过单旋转来解决，而第2种情况和第3种情况是对称的，被称为发生在“内边”的情况，需要双旋转来解决。

案例：对数组中的元素{3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9}顺序插入并建立一个平衡二叉树。以这个案例为例，来讲解上面4个问题的通用解决办法和单旋转和双旋转的概念。

2.1 单旋转

首先是添加前两个元素“3、2”的时候，可以正常的构建平衡二叉树，到了第3个数“1”时，发现此时根节点“3”的平衡因子变成了2，此时整棵树都成了最小不平衡子树，因此需要调整结构。

上图中的情况情况符合条件1——LL，因此所采用单旋转来重平衡。此时，我们需要右旋（顺时针旋转）。旋转的目的实际上就是为了降低深度，保持平衡。

节点3经过右旋后，节点2变成了根节点，节点3变成了2的右子树，此时树节点1的深度降低了一级，整颗树重新回到了平衡。我们把通过一次旋转即可修复平衡的操作叫做单旋转。

平衡因子BF绝对值大于1的节点X称为失衡点，修复一棵被破坏的AVL树时，找到失衡点是很重要的，查找失衡点就是从新插入、删除的节点的位置向上回溯至根节点的过程。

然后我们再增加节点4，平衡因子没有超出限定范围。增加节点5时，节点3的BF值为-2，说明又要旋转了。

上图中的情况情况符合条件4——RR，需要采用单旋转来重平衡。此时，我们需要左旋（逆时针旋转）。

左旋之后，如上图右，树的深度降低了一级，此时整棵树又达到了平衡状态。继续，增加节点6时，发现根节点2的BF值变成了-2，所以我们对根节点进行了左旋。

左旋的结果使得节点2成为节点4的左孩子，原本处于2和4之间的节点3是4的左子树，由于旋转后需要满足二叉排序树特性，因此它成了节点2的右子树，因为该子树的每一个关键字都在2-4之间，因此这个变换是成立的。

现在我们来尝试总结出发生情况1和4时的通用解法。

首先，情况1和4可以提炼出一个通用模型：

模型中，左边如果要发生不平衡的情况1，那么左子树1的深度肯定比右子树1的深度深2层；右边如果要发生不平衡的情况4，那么左子树1的深度肯定比右子树1的深度浅2层。

针对上面情况1和情况4，我们分别使用右旋和左旋，来降低或者升高这两颗子树的深度：

如上图，情况1右旋之后，k2成为根节点，k1成为k2的右子节点，k2的右子树2成为k1的左子树；情况4左旋之后，k2成为根节点，k1成为k2的左子节点，k2的左子树2成为k1的右子树。树重新达到了平衡状态，这就是解决情况1和情况4的通解，并且我们可以发现它们是对称的。

下面增加节点7，这导致节点5的BF变成了-2，且符合情况4，需要左旋，根据上面的通解，采用下面的左旋方法让树重新成为平衡二叉树：

2.2 双旋转

上面的单旋转对于情况2和3是没有用的，因为此时树结构太深，单旋转并不会减低它的深度。此时需要使用双旋转。

当增加节点16时，结构无变化，再增加节点15，此时节点7的BF变成了-2。此时符合情况3：在节点X的右孩子节点的左子树中插入元素，简称RL。如下图：

此时简单的左旋无法解决问题：节点15成了16的右孩子，这是不符合二叉排序树的特性的，此时不能简单的左旋。如下图：

对于这种情况，我们对于关键节点7、16、15先建立一个更广泛的模型：

其中7-k1、16-k2、15-k3，并且节点7完全还可以拥有左子树，节点16可以拥有右子树，而节点15则可以拥有左右子树。

要想发生上面k1的BF为-2的情况，需要左子树2或右子树2其中一颗子树的深度比左子树1深两层，或者他们都是空子树，但是我们不知道是具体是什么情况，不过这没关系，在这里我们要求出一个对这个问题通解！

此时为了平衡高度，我们不能将k1当作根节点了，但是左旋——把k2当作根节点也不能解决问题（上面已经证实了），唯一的选择就是：将k3当作新的根节点，并且先使得k2右旋成为k3的右子树，然后k1左旋成为k3的左子树，并且左子树2成为k1的右子树，右子树2成为k2的左子树，这是完全成立的，这就是情况3的通解。最终，右-左双旋结果如下：

我们可以看到，无论是具体发生了什么情况（左子树2或右子树2其中一颗子树的深度比左子树1深两层，或者他们都是空子树)，左-右双旋转换为上右图的形状之后，左子树2或右子树2都会被削减一层深度，而左子树1会被增加一层深度，这棵树始终都是一颗平衡二叉树。

实际上，右-左双旋，分开旋转的过程模型如下：

回到案例，案例中左子树2、右子树2、左子树1、右子树1都是空树，使用右-左双旋之后，树结构如下图，该树得以重新平衡：

接着插入14，情况与刚才类似，节点6的BF是-2，此时符合RL的情况（在节点6的右孩子节点15的左子树7中插入元素），如下图左，此时继续右-左双旋后，整棵树又回到了平衡状态，如下图右：

继续插入13，此时根节点4的BF变成了-2，符合情况4，此时使用一次单左旋即可解决问题：

继续插入12之后，向上回溯到节点14时，发现节点14的BF为2，此时符合情况1，需要右旋恢复平衡：

继续插入11之后，向上回溯到节点15时，发现节点15的BF为2，此时符合情况1，需要右旋恢复平衡：

继续插入10之后，向上回溯到节点12时，发现节点12的BF为2，此时符合情况1，需要右旋恢复平衡：

插入8之后，向上回溯到根节点也没有发现最小不平衡树，因此不需要旋转。最后插入9之后，我们发现出现了情况2，此时我们有情况1和情况4对称的经验，自然也知道需要右-左双旋的的对称操作——左-右双旋来重新平衡。

先来看左-右双旋模型：

它和右-左双旋模型就是对称操作，将k3当作新的根节点，并且先使得k2左旋成为k3的左子树，然后k1右旋成为k3的右子树，并且左子树2成为k2的右子树，右子树2成为k1的左子树，这是完全成立的，这就是情况2的通解。

左-右双旋之后，重新形成了平衡二叉树：

实际上，左-右双旋，分开旋转的过程模型如下：

节点添加完毕，最终形成了一颗平衡二叉树：

2.3 总结

插入节点的不平衡的情况只有四种：

在节点X的左孩子节点的左子树中插入元素，简称LL
在节点X的左孩子节点的右子树中插入元素，简称LR
在节点X的右孩子节点的左子树中插入元素，简称RL
在节点X的右孩子节点的右子树中插入元素，简称RR

其中1采用单右旋、4采用单左旋即可解决问题。2和3比较复杂，2需要采用左-右双旋、3需要采用右-左双旋。

1和4、2和3是对称的情况，现在综合起来看，所谓的旋转似乎也不那么复杂，并且我们已经求出了这几种问题的通解，该通解对于节点的删除是同样适用的，不必再考虑各种特殊情况，非常方便，下面来看看具体的代码实现！

3 平衡二叉树的构建

3.1 类架构

首先节点对象还是需要一个数据域和两个引用域，相比于二叉排序树，还要多一个节点高度的字段，这样方便计算平衡因子，并且提供返回节点高度的方法。另外还需要一个比较器的引用，因为需要对元素进行排序，自然需要比较元素的大小，如果外部传递了比较器，那么就使用用户指定的比较器进行比较，否则，数据类型E必须是Comparable接口的子类，否则因为不能比较而报错。

另外，还需要提供中序遍历的方法，该遍历方法对于二叉排序树的结果将会顺序展示。

public class AvlTree<E> {
    
    private BinaryTreenode<E> root;

    
    private Comparator<? super E> cmp;


    
    private int size;

    
    public static class BinaryTreeNode<E> {

        //数据域
        E data;
        //左子节点
        BinaryTreeNode<E> left;
        //右子节点
        BinaryTreeNode<E> right;
        //节点高度 从0开始,从下往上;null节点高度返回-1
        int height;

        public BinaryTreeNode(E data) {
            this.data = data;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return data.toString();
        }

    }

    
    public AvlTree(Comparator<? super E> cmp) {
        this.cmp = cmp;
    }

    
    public AvlTree() {
    }

    
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    
    public int size() {
        return size;
    }


    
    private int compare(E e1, E e2) {
        if (cmp != null) {
            return cmp.compare(e1, e2);
        } else {
            return ((Comparable<E>) e1).compareTo(e2);
        }
    }


    
    List<BinaryTreeNode<E>> str = new ArrayList<>();

    
    public String toInorderTraversalString() {

        //如果是空树,直接返回空
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        //从根节点开始递归
        inorderTraversal(root);
        //获取遍历结果
        String s = str.toString();
        str.clear();
        return s;
    }

    
    private void inorderTraversal(BinaryTreeNode<E> root) {

        BinaryTreeNode<E> left = getLeft(root);
        if (left != null) {
            //如果左子节点不为null,则继续递归遍历该左子节点
            inorderTraversal(left);
        }
        //添加数据节点
        str.add(root);
        //获取节点的右子节点
        BinaryTreeNode<E> right = getRight(root);
        if (right != null) {
            //如果右子节点不为null,则继续递归遍历该右子节点
            inorderTraversal(right);
        }
    }

    
    public BinaryTreeNode<E> getLeft(BinaryTreeNode<E> parent) {
        return parent == null ? null : parent.left;
    }

    
    public BinaryTreeNode<E> getRight(BinaryTreeNode<E> parent) {
        return parent == null ? null : parent.right;
    }

    
    public BinaryTreeNode<E> getRoot() {
        return root;
    }

    
    private int getHeight(BinaryTreeNode<E> node) {
        return node == null ? -1 : node.height;
    }

}

3.2 查找的方法

平衡二叉树就是一颗二叉排序树，其查找方法可以复用二叉排序树的查找方法，很简单：

若根节点的关键字值等于查找的关键字，成功，返回true；
否则，若小于根节点的关键字值，递归查左子树；
若大于根节点的关键字值，递归查右子树；
最终查找到叶子节点还是没有数据，那么查找失败，则返回false

    
    public boolean contains(E e) {
        return contains(e, root);
    }

    
    private boolean contains(E e, BinaryTreeNode<E> root) {
        
        if (root == null) {
            return false;
        }
        
        int i = compare(e, root.data);
        
        if (i > 0) {
            return contains(e, root.right);
            
        } else if (i < 0) {
            return contains(e, root.left);
        } else {
            
            return true;
        }
    }

3.3 检查是否平衡的方法

很简单，只需要递归的查看所有节点，判断是否存在的节点的左右子节点高度差绝对值是否大于1的情况就能判断了，如果存在，那么返回false表示不是平衡二叉树，不存在就返回true表示是平衡二叉树。

    
    private boolean balance = true;

    
    public boolean checkBalance() {
        checkBalance(root);
        boolean balanceNow=balance;
        balance=true;
        return balanceNow;
    }

    
    private int checkBalance(BinaryTreeNode<E> root) {
        if (root == null) {
            return -1;
        }
        //返回左子树的高度
        int hl = checkBalance(root.left);
        //返回右子树的高度
        int hr = checkBalance(root.right);
        //如果root的左右子树高度差绝对值大于1,或者checkBalance和getHeight方法获取的左/右子树高度不一致,那么算作不平衡
        if (Math.abs(getHeight(root.left) - getHeight(root.right)) > 1 ||
                getHeight(root.left) != hl || getHeight(root.right) != hr) {
            balance = false;
        }
        return getHeight(root);
    }

3.4 插入的方法

平衡二叉树和二叉排序树的最大区别就是在插入和删除的时候了。我们已经讨论过插入之后的4种出现平衡问题的特殊情况，这里不再赘述，下面看代码具体如何实现：

   
    public void insert(E e) {
        //返回root,但此时新的节点可能已经被插入进去了
        root = insert(e, root);
    }

    
    public void insert(E[] es) {
        //返回root,但此时新的节点可能已经被插入进去了
        for (E e : es) {
            root = insert(e, root);
        }

    }

    
    private BinaryTreeNode<E> insert(E e, BinaryTreeNode<E> root) {
        
        if (root == null) {
            size++;
            return new BinaryTreeNode<>(e);
        }
        
        int i = compare(e, root.data);
        
        if (i > 0) {
            //重新赋值
            root.right = insert(e, root.right);
            
        } else if (i < 0) {
            //重新赋值
            root.left = insert(e, root.left);
        } else {
            
        }
        
        return rebalance(root);
    }

    
    private BinaryTreeNode<E> rebalance(BinaryTreeNode<E> root) {
        
        if (root == null) {
            return null;
        }
        
        
        if (getHeight(root.left) - getHeight(root.right) > 1) {
            
            if (getHeight(root.left.left) >= getHeight(root.left.right)) {
                
                root = rotateRight(root);
            } else {
                
                root = rotateLeftAndRight(root);
            }
            
        } else if (getHeight(root.right) - getHeight(root.left) > 1) {
            
            if (getHeight(root.right.right) >= getHeight(root.right.left)) {
                
                root = rotateLeft(root);
            } else {
                
                root = rotateRightAndLeft(root);
            }
        }
        
        root.height = Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
        return root;
    }


    
    private BinaryTreeNode<E> rotateRight(BinaryTreeNode<E> k1) {
        //获取k2,k2是k1的左子节点
        BinaryTreeNode<E> k2 = k1.left;
        //k2的右子树成为k1的左子树
        k1.left = k2.right;
        //k1成为k2的右子节点
        k2.right = k1;
        //k1的高度等于k1的左或者右子树的高度的最大值+1;
        k1.height = Math.max(getHeight(k1.left), getHeight(k1.right)) + 1;
        //k2的高度等于k2的左子节点和k1的高度(此时k1就是k2的右子节点)的最大值+1
        k2.height = Math.max(getHeight(k2.left), k1.height) + 1;
        //返回k2,k2成为根节点
        return k2;
    }

    
    private BinaryTreeNode<E> rotateLeft(BinaryTreeNode<E> k1) {
        //获取k2,k2是k1的右子节点
        BinaryTreeNode<E> k2 = k1.right;
        //k2的左子树成为k1的右子树
        k1.right = k2.left;
        //k1成为k2的左子节点
        k2.left = k1;
        //k1的高度等于k1的左或者右子树的高度的最大值+1;
        k1.height = Math.max(getHeight(k1.left), getHeight(k1.right)) + 1;
        //k2的高度等于k2的右子节点和k1的高度(此时k1就是k2的左子节点)的最大值+1
        k2.height = Math.max(getHeight(k2.right), k1.height) + 1;
        //返回k2,k2成为根节点
        return k2;
    }

    
    private BinaryTreeNode<E> rotateRightAndLeft(BinaryTreeNode<E> k1) {
        
        k1.right = rotateRight(k1.right);
        
        return rotateLeft(k1);
    }

    
    private BinaryTreeNode<E> rotateLeftAndRight(BinaryTreeNode<E> k1) {
        
        k1.left = rotateLeft(k1.left);
        
        return rotateRight(k1);
    }

3.4.1 测试

AvlTree<Integer> avlTree = new AvlTree<>();
Integer[] es = new Integer[]{3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 9};
//批量插入
avlTree.insert(es);
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//数量
System.out.println(avlTree.size());

在insert之后打上断点，Debug，可以看到avlTree的数据结构和在实现原理中最终的结构是一致的。

3.5 查找最大值和最小值

很简单，最左边的节点一定是最小的，最右边的节点一定是最大的。因此查找最小的节点只需要向左递归查找，查找最大的节点只需要向右递归查找。


private BinaryTreeNode<E> findMin(BinaryTreeNode<E> root) {
    if (root == null) {
        return null;
        
    } else if (root.left == null) {
        return root;
    }
    
    return findMin(root.left);
}


private BinaryTreeNode<E> findMax(BinaryTreeNode<E> root) {
    if (root == null) {
        return null;
        
    } else if (root.right == null) {
        return root;
    }
    
    return findMax(root.right);
}

3.6 删除的方法

平衡二叉树节点的删除同样可能导致产生不平衡的状态，因此同样在二叉排序树的删除代码的基础上，删除元素之后需要在删除节点之上进行回溯直到根节点，尝试找出最小不平衡树来进行重平衡。其平衡的方法是和插入的时候是一样的。


public void delete(E e) {
    //返回root,但此时可能有一个节点已经被删除了
    root = delete(e, root);
}


private BinaryTreeNode<E> delete(E e, BinaryTreeNode<E> root) {
    
    if (root == null) {
        return null;
    }
    
    int i = compare(e, root.data);
    
    if (i > 0) {
        //重新赋值
        root.right = delete(e, root.right);
        
    } else if (i < 0) {
        //重新赋值
        root.left = delete(e, root.left);
    } else {
        
        
        if (root.left != null && root.right != null) {
            
            root.data = findMin(root.right).data;
            root.right = delete(root.data, root.right);
        } else {
            
            root = (root.left != null) ? root.left : root.right;
            --size;
        }
    }
    
    return rebalance(root);
}

3.6.1 测试

针对上面插入的平衡二叉树进行删除：

System.out.println("======>首先删除5  此时没有影响,不需要重平衡");
avlTree.delete(5);
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());


System.out.println("======>再次删除6  此时节点4的BF为2 需要右旋重平衡");
avlTree.delete(6);
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());

System.out.println("======>再次删除11  由于该节点拥有左右子树,实际上删除的是该节点的右子树的最小节点12,然后将12的值赋值给11的节点,并导致节点12的原父节点11不平衡,需要重平衡");
avlTree.delete(11);
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());

System.out.println("======>再次删除7  由于该节点拥有左右子树,实际上删除的是该节点的右子树的最小节点8,然后将8的值赋值给7的节点,并导致节点8的原父节点9不平衡,需要重平衡");
avlTree.delete(7);
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());

System.out.println("======>再次删除9、12  此时不需要重平衡");
avlTree.delete(9);
avlTree.delete(12);
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());

System.out.println("======>最后删除8  由于该节点拥有左右子树,实际上删除的是该节点的右子树的最小节点10节点,然后将10的值赋值给8的节点,并导致节点10的原父节点13不平衡,需要重平衡");
avlTree.delete(8);
//检查是否平衡
System.out.println(avlTree.checkBalance());
//中序遍历输出
System.out.println(avlTree.size());
System.out.println(avlTree.toInorderTraversalString());

在进行上面的一系列删除之后，树结构会变成如下形状：

4 平衡二叉树的总结

平衡二叉树是基于二叉排序树的，但是由于其必须保持平衡的特性，因此其编码难度比二叉排序树的编码难度更高，不过如果我们搞懂了其旋转的原理，那么实现起来还是比较简单的。

如果我们需要查找的集合本身没有顺序，在频繁查找的同时也需要经常的插入和删除操作，显然我们需要构建一棵二叉排序树，但是不平衡的二叉排序树，极端情况下可能退化为链表，查找效率是非常低的，因此我们需要在构建时，就让这棵二叉排序树是动态的转换为平衡二叉树，此时我们的查找时间复杂度就为O(logn)，而插入和删除也为O(logn)。这显然是比较理想的一种动态查找表算法。

本文介绍了平衡二叉树的原理以及Java代码的完全实现，要想搞懂平衡二叉树需要先搞懂二叉排序树：二叉排序树的详解以及Java代码的完全实现。而搞懂平衡二叉树又是搞懂红黑树的基础，后续文章我们将会介绍红黑树的概念以及Java代码的完全实现！

以上就是Java数据结构之平衡二叉树的原理与实现的详细内容，更多关于Java平衡二叉树的资料请关注编程网其它相关文章！

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本文标题: Java数据结构之平衡二叉树的原理与实现

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