基于稀疏图上的Johnson算法的详解

Johnson算法是一种用于解决带有负权边的稀疏图的最短路径问题的算法。它的主要思想是通过对图进行一些变换，使得图中不存在负权环，然后利用Dijkstra算法求解每对顶点之间的最短路径。
下面是Johnson算法的详细步骤：
1. 添加一个新的顶点s到图中，并且从s到图中的每个顶点v添加一条权重为0的边。这样就得到了一个新的图G'。
2. 使用Bellman-Ford算法计算从顶点s到图中每个顶点v的最短路径长度h(v)。如果Bellman-Ford算法检测到图中存在负权环，则算法终止，因为这意味着没有最短路径存在。
3. 对于原始图G中的每个边(u, v)，将边的权重更新为w'(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)。这个步骤的目的是消除负权边，因为在原始图中存在负权边时，Dijkstra算法无法正确工作。
4. 对于新的图G'，使用Dijkstra算法计算从每个顶点u到每个顶点v的最短路径长度d'(u, v)。根据步骤3中的转换，最短路径长度d'(u, v)实际上是原始图G中顶点u到顶点v的最短路径长度。
5. 对于每对顶点u和v，计算原始图G中顶点u到顶点v的最短路径长度d(u, v) = d'(u, v) - h(u) + h(v)。
最后，根据步骤5得到的结果，可以得到原始图G中每对顶点之间的最短路径长度。
Johnson算法的时间复杂度为O(V^2 log V + VE)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。虽然该算法在稀疏图上的时间复杂度相对较高，但它可以处理含有负权边的图，并且相对于其他算法来说，它具有更好的性能。