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Java数据结构之优先级队列(堆)图文详解

2024-04-02 19:04:59 111人浏览安东尼

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摘要

目录一、堆的概念二、向下调整1.建初堆2.建堆三、优先级队列1.什么是优先队列？2.入队列3.出队列4.返回队首元素5.堆的其他TopK问题总结：总结一、堆的概念堆的定义：n个元素

一、堆的概念

堆的定义：n个元素的序列{k1 , k2 , … , kn}称之为堆，当且仅当满足以下条件时：

（1）ki >= k2i 且 ki >= k(2i+1) ——大根堆

（2） ki <= k2i 且 ki <= k(2i+1) ——小根堆

简单来说：

堆是具有以下性质的完全二叉树：
（1）每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大根堆（如左下图）；
或者：
（1）每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小根堆（如右下图）。

我们使用数组保存二叉树结构，即是将二叉树用层序遍历方式放入数组中，如上图。

堆的元素下标存在以下关系：

1.假如已知双亲（parent）的下标，则

左孩子（left）下标 = 2parent + 1；

右孩子（right）下标 = 2parent +2；

2.已知孩子（child）（不区分左右）下标，则：

双亲（parent）下标 = （child - 1）/ 2 ;

小结：

堆逻辑上是一棵完全二叉树；
堆物理上保存在数组中；
满足任意结点的值都大于其子树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆；反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆；
堆的基本作用是，快速找集合中的最值。

二、向下调整

1.建初堆

设有一个无序序列 {2,5,7,8,4,6,3,0,9,1 }，下面通过图解来建初始堆。

这里有一个前提：这棵二叉树的左右子树都必须是一个堆，才能进行调整。

下面是用到的数据的一些说明：

array 代表存储堆的数组
size 代表数组中被视为堆数据的个数
index 代表要调整位置的下标
left 代表 index 左孩子下标
right 代表 index 右孩子下标
min 代表 index 的最小值孩子的下标

过程文字描述如下：

1.index 如果已经是叶子结点，则整个调整过程结束：

（1）判断 index 位置有没有孩子；

（2）因为堆是完全二叉树，没有左孩子就一定没有右孩子，所以判断是否有左孩子；

（3）因为堆的存储结构是数组，所以判断是否有左孩子即判断左孩子下标是否越界，即 left >= size 越界。

2.确定 left 或 right，谁是 index 的最小孩子 min：

（1）如果右孩子不存在，则 min = left；

（2）否则，比较 array[left] 和 array[right] 值得大小，选择小的为 min；

（3）比较 array[index] 的值和 array[min] 的值，如果 array[index] <= array[min]，则满足堆的性质，调整结束。

3.否则，交换 array[index] 和 array[min] 的值；

4.然后因为 min 位置的堆的性质可能被破坏，所以把 min 视作 index，向下重复以上过程。

通过上面的操作描述，我们写出以下代码：

public static void shiftDown(int[] array, int size, int index){
        int left = 2*index +1;
        while(left < size){
            int min = left;
            int right = 2*index +2;
            if(right<size){
                if(array[right] < array[left]){
                    min = right;
                }
            }
            if(array[index] <= array[min]){
                break;
            }
            int tmp = array[index];
            array[index] = array[min];
            array[min] = tmp;
            index = min;
            left = 2*index +1;
        }
    }

时间复杂度为 O(log(n))。

2.建堆

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

时间复杂度分析：

粗略估算，可以认为是在循环中执行向下调整，为 O(n * log(n))，（了解）实际上是 O(n)。

//建堆代码
    public void createHeap(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
        //根据代码 显示的时间复杂度   看起来 应该是O(n*logn)  但是 实际上是O(n)
        for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
            //调整
            shiftDown(parent,usedSize);
        }
    }

三、优先级队列

1.什么是优先队列？

根据百科解释：

普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出（first in, largest out）的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。

所以我们在这里实现优先队列的内部原理是堆，也就是说采用堆来构建。

2.入队列

过程（以大堆为例）：

首先按尾插方式放入数组；
比较其和其双亲的值的大小，如果双亲的值大，则满足堆的性质，插入结束；
否则，交换其和双亲位置的值，重新进行 2、3 步骤；
直到根结点。

下面图解：

    private void shiftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;
        while (child > 0) {
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

3.出队列

为了防止破坏堆的结构，删除时并不是直接将堆顶元素删除，而是用数组的最后一个元素替换堆顶元素，然后通过向下调整方式重新调整成堆。

    private void shiftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;
        while (child > 0) {
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void offer(int val) {
        if(isFull()) {
            //扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[usedSize++] = val;
        //注意这里传入的是usedSize-1
        shiftUp(usedSize-1);
    }

4.返回队首元素

直接返回堆顶元素

    public int peek() {
        if(isEmpty()) {
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        return elem[0];
    }

    public boolean isEmpty() {
        return usedSize == 0;
    }

整体的代码：

public class TestHeap {
    public int[] elem;
    public int usedSize;

    public TestHeap() {
        this.elem = new int[10];
    }

    
    public void shiftDown(int parent,int len) {
        int child = 2*parent+1;
        //1、最起码 是有左孩子的，至少有1个孩子
        while (child < len) {
            if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
                child++;//保证当前左右孩子最大值的下标
            }
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                parent = child;
                child = 2*parent+1;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void createHeap(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
        //根据代码 显示的时间复杂度   看起来 应该是O(n*logn)  但是 实际上是O(n)
        for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
            //调整
            shiftDown(parent,usedSize);
        }
    }

    private void shiftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;
        while (child > 0) {
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void offer(int val) {
        if(isFull()) {
            //扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[usedSize++] = val;
        //注意这里传入的是usedSize-1
        shiftUp(usedSize-1);
    }

    public boolean isFull() {
        return usedSize == elem.length;
    }

    public int poll() {
        if(isEmpty()) {
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        int tmp = elem[0];
        elem[0] = elem[usedSize-1];
        elem[usedSize-1] = tmp;
        usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }


    public int peek() {
        if(isEmpty()) {
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        return elem[0];
    }

    public boolean isEmpty() {
        return usedSize == 0;
    }


    public void heapSort() {
        int end = this.usedSize-1;
        while (end > 0) {
            int tmp = elem[0];
            elem[0] = elem[end];
            elem[end] = tmp;
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }

}

5.堆的其他TopK问题

什么是TopK问题？

从arr[1, n]这n个数中，找出最大的k个数，这就是经典的TopK问题。

解决这类问题，我们往往会有以下几种思路：

对整体进行排序，输出前10个最大的元素。
用上面刚刚讲的堆。
也是用堆，不过这比第二个思路更巧妙。

我们直接讲思路三：

先用前k个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前最大的k个元素。
接着，从第k+1个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆，以保证堆内的k个元素，总是当前最大的k个元素。
直到，扫描完所有n-k个元素，最终堆中的k个元素，就是所要求的TopK。

以这个数组{12，15，21，41，30}为例，找到前3个最大的元素。

那如果是将一组进行从小到大排序，我们该采用大根堆还是小根堆？

答案是：大根堆！

步骤如下：

将这组数据调整为大根堆调整为大根堆；
0下标和最后1个未排序的元素进行交换即可；
重复1、2，直到结束。

总结：

如果求前K个最大的元素，要建一个小根堆。如果求前K个最小的元素，要建一个大根堆。第K大的元素。建一个小堆，堆顶元素就是第K大的元素。第K小的元素。建一个大堆，堆顶元素就是第K小的元素。

    public void heapSort() {
        int end = this.usedSize-1;
        while (end > 0) {
            int tmp = elem[0];
            elem[0] = elem[end];
            elem[end] = tmp;
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }
    public void shiftDown(int parent,int len) {
        int child = 2*parent+1;
        //1、最起码 是有左孩子的，至少有1个孩子
        while (child < len) {
            if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
                child++;//保证当前左右孩子最大值的下标
            }
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                parent = child;
                child = 2*parent+1;
            }else {
                break;
            }
        }
    }